• Een oplossing van opgave 2002/1-B
  • Berekeningen in G
  • Verband met S₆ en S₅.

Een oplossing van opgave 2002/1-B

Berekeningen in G

Eerst voeren we de betreffende permutatiegroep G in, voortgebracht door de 4-cykels a=(1234) en b=(3456).

> restart: with(group):pa:=[[1,2,3,4]]; pb:=[[3,4,5,6]]; G:=permgroup(6,{a=[[1,2,3,4]],b=[[3,4,5,6]]});

We kijken even hoe we in G kunnen vermenigvuldigen (let op de volgorde!)

> s:=mulperms(pa,pb);

> convert([b,a],'disjcyc',G);

> convert([a,a,a,a],'disjcyc',G);

We zien dat b "na" a = (124)(356), dat a "na" b = b "voor" a = (123)(456) en dat a⁴ de identieke permutatie is. Vervolgens bepalen we de orde van G, d.w.z. zijn aantal elementen.

> grouporder(G);

Nu zijn we al bijna klaar, want de hoogste macht van 3 die in 120 opgaat is 3. Alle Sylow 3-subgroepen van G zijn dus 3-cyclisch (en omgekeerd). Daar bij voorbeeld s = ba =(124)(356), is S = {1,s,s^-1} zo'n Sylow subgroep. Maar algemeen geldt in een (eindige) groep dat (voor een vast priemgetal p) alle Sylow p-subgroepen onderling geconjugeerd zijn; in het bijzonder zijn alle andere elementen van de orde 3 met s of s^-1 = (142)(365) geconjugeerd en hebben dus zeker dezelfde cykelstructuur.

We kunnen natuurlijk ook alle elementen van G in disjuncte cykeldecompositie laten berekenen, maar deze uitvoer hebben we, om ruimte te sparen, onderdrukt en wel door de opdracht met een dubbele punt i.p.v. met een puntkomma af te sluiten.

> SetG:=elements(G):

We selecteren hieruit de elementen van de orde 3.

> ord3:=select(t -> grouporder(permgroup(6,{t}))=3, SetG);

We zien expliciet dat, inderdaad, uitsluitend producten van 2 disjuncte 3-cykels voorkomen. In het bijzonder herkennen we s=(124)(356) en zijn inverse.

Verband met S₆ en S₅.

De S₆, d.w.z de volledige permutatiegroep van {1,2,3,4,5,6}, heeft net zo veel 2-cykels als producten van 2k+1 disjuncte 2-cykels, namelijk 15 (met k=1). (Deze combinatorische "toevalligheid" heeft tot gevolg dat de S₆ als enige(!) onder de S_n uitwendige automorfismes heeft. We laten het verder bij dit topje van de ijsberg.) Van deze 15 producten van 3 disjuncte cykels liggen er 10 in G en de overige 5 corresponderen precies met A,B,...,E.

> Oddorder2:=select(t -> grouporder(permgroup(6,{t}))=2 and nops(t)=3, SetG);

> s6:=permgroup(6,{[[1,2]],[[2,3,4,5,6]]});

> Sets6:=elements(s6):

> t6:=select(t -> grouporder(permgroup(6,{t}))=2 and nops(t)=3, Sets6);

> EBDCA:=t6 minus Oddorder2;

We herkennen E,B,D,C, en A, in deze volgorde.

In feite is G (met orde 120 = 5!) isomorf met Sym({A,B,C,D,E}), de volledige permutatiegroep van {A,B,C,D,E}, ofwel met S₅. Anders gezegd het door de werking gegeven homomorfisme f van G in Sym({A,B,C,D,E}) voortgebracht door f((1234)) = (ABCD) en f((3456)) = (BEDC) is bijectief.

Bewijs: Daar beide groepen dezelfde orde (namelijk 120) hebben is het voldoende om de surjectiviteit van f aan te tonen. Welnu, omdat naast (ABCD) ook f(s)( = f((3456))f((1234)) )= (AED) en (ABCD)(BEDC)^-1 = (ABDEC) in de beeldgroep Im(f) van f liggen, is de orde van Im(f) een veelvoud van 4,3, en 5, dus (hier) gelijk aan 60 of 120. De eerste mogelijkheid vervalt omdat Im(f) ook oneven permutaties bevat.