Berekeningen aan de symmetrische groep op zes elementen.

Berekeningen aan de S₆, in het bijzonder van Aut(S₆). Controle met behulp van GAP.

We zullen onder meer aantonen dat Aut(S_n) = Inw(S_n), voor n ongelijk 6, terwijl voor n = 6 de index [Aut(S_n):Inw(S_n)] gelijk is aan 2. Ook bepalen we expliciet een (uitwendig) autmorfisme f van S₆ met f((1,2)) = (1,2)(3,6)(4,5) en f((2,3,4,5,6))=(2,3,4,5,6).

Inleiding

. Nu eerst wat algemene opmerkingen over automorfismes f: G --> G, met (G,*,1) een willekeurige groep waarin (steeds) de binaire operatie met * en het eenelement met 1 wordt aangegeven. We herinneren eraan dat we de rechts-werking van G in zichzelf door conjugatie met w aangeven, w is een homomorfisme van G op de groep Inw(G) van alle inwendige automorfismes van G met als kern het centrum Z(G) van G. Per definitie geldt x w_g = g^-1*x*g [w_g(x) = g^-1*x*g] en de conjugatieklassen van G zijn niets anders dan de banen in G onder w. Als we x w_g noteren als x^g dan geldt (i) x¹ = x [er treedt dus geen verwarring met de gewone eerste macht op], (ii) x^g*h=(x^g)^h [makkelijk te onthouden] en (iii) (w_g)^-1 = w_g^-1

Als x en y in G geconjugeerd zijn, notatie x ~_G y, [als G bekend is wordt de onderindex G meestal weggelaten] dan ook f(x) en f(y). Explicieter, f na w_g = w_f(g) na f. Dus ook f na w_g na f^-1 = w_f(g). Hieruit volgen direct de twee volgende punten.
Inw(G) is een normale ondergroep van Aut(G).
Als Z(G)={1}, dan is w een isomorfisme van G in Aut(G) en kunnen we na een corresponderende identificatie van G met Inw(G) de volledige automorfismegroep Aut(G) als een uitbreiding van G zien. In deze uitbreiding valt f samen met de beperking tot G [dit is de oorspronkelijke Inw(G)] van het inwendig automorfisme w_f [van Aut(G)].

Basisstof

Vanaf nu nemen we f in Aut(G) met G =S_n [en met n>2, om flauwe gevallen te vermijden, Z(G) is nu {1}]
Stelling 1. Als f een transpositie afbeeldt op een transpositie, dan is f inwendig.
Bewijs. Uit opmerking 1 volgt dat f de klasse van alle transposities op zichzelf afbeeldt. We zullen, in essentie, stapsgewijs en met inductie naar n, een g in G construeren zo dat w_g na f de identiteit is op G. Stel t = (n,n-1) en f(t) = (i,j). Kies een permutatie p met {i, j}p = {n-1, n}, [er zijn 2*(n-2)! mogelijkheden]. Dan laat w_p na f de transpositie t vast en dus ook de verzameling V van alle daarmee commuterende transposities. [V is de verzameling van alle transposities uit {1, 2,..., n-2}]. Neem w_p na f als nieuwe f, om de notatie simpeler te houden. Op grond van de inductiehypothese [toegepast op S_n-2] is er dan een h in G met h(n) = n en h(n-1) = n-1 zodat w_h na f ook alle elementen van V vast laat. Vervang f opnieuw. Neem w_h na f als nieuwe f. Bekijk vervolgens s = f((n,n-2)) en merk op dat (n,n-2) noch met t noch met een van de, eveneens onder [de inmiddels tweemaal aangepaste!] f vaste transposities (n-2,i), met i<n-2, commuteert. Voor s geldt dus hetzelfde. Conclusie s = (n,n-2) of s = (n-1,n-2). Het tweede geval laat zich tot het eerste reduceren door w_t na f te nemen [ga na dat dit geen conflict oplevert met onze keuze van p in het begin]. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we dus aannemen dat f ook (n,n-2) vast laat, maar dan ook (n,i)=(n-2,i)(n,n-2)(n-2,i)met i als hierboven. De transposities van de vorm (n,j) brengen heel G voort, dus f laat elk element van G vast.
Stelling 2. Als f een uitwendig automorfisme is van G (= S_n), dan is n = 6 en f beeldt de transposities op de drielingen af (producten van m disjuncte transposities heten m-lingen). Er zijn, in dat geval, precies 6! = 720 uitwendige automorfismes, die in Aut(G), naast Inw(G) zelf, de enige andere coset van Inw(G) vormen.
Bewijs. De A_n is een karakteristieke [onder alle automorfismes invariante] ondergroep van G, namelijk de afgeleide of commutator subgroep van G). Dus behoudt f de pariteit, dat wil zeggen: "f(a) is even dan en slechts dan als a even is". Verder geldt dat de orde van f(a) en die van a gelijk zijn, omdat f een isomorfisme is. Voor f(t), met t een transpositie, komen dus alleen de (2k+1)-lingen in aanmerking, met k>0 vanwege stelling 1. Een noodzakelijke combinatorische voorwaarde is dus dat (n(n-1)/2, het aantal transposities in G, gelijk is aan, n!/(2^2k+1*(2k+1)!*(n-4k-2)!), het aantal (2k+1)-lingen in G met n>4k+1 en k>0. [in de noemer herkennen we de orde van de centralisatorsubgroep van een (2k+1)-ling in G]. We gaan bewijzen dat het eerste aantal altijd kleiner is dan het tweede, behalve in het minimale geval waarin n = 6 en k = 1. De iets vereenvoudigde ongelijkheid luidt:" 4^k*(2k+1)! kleiner of gelijk (n-2)*(n-3)...(n-4k-1) ". Omdat het rechterlid bij vaste k stijgend is in n hoeven we alleen het minimale geval n = 4k+2 te beschouwen, dat wil zeggen: " 4^k*(2k+1)! kleiner of gelijk (4k)! ". Voor k = 1 geldt de aangekondigde gelijkheid en het rechterlid is een (veel) sneller groeiende functie van k dan het linkerlid, want (4k+6)<(4k+3)(4k+2)(4k+1), ga na. Stel nu dat n = 6. Dan beeldt f, wegens gebrek aan alternatief, de drielingen weer op de transposities af en f² is dus volgens stelling 1 inwendig. Algemener, het product van twee uitwendige automorfismes is steeds inwendig. Out(G), gedefinieerd als de factorgroep Aut(G)/Inw(G), heeft dus slechts twee elementen. Merk wel op dat we hierboven uitgingen van een uitwendig automorfisme f, waarvan het bestaan, op dit punt van ons betoog, nog onzeker is.

Constructie van een uitwendig automorfisme f van de S₆

Fase 1. f is een uitwendig automorfisme (van de S₆)
We zullen eerst een aantal eigenschappen van f afleiden en de vorm van f vereenvoudigen. We herinneren eraan dat {r = (1,2), m = (2,3,4,5,6)} een, veel gebruikt, stel voortbrengers van de S₆ is. De 5-cykels vormen de enige conjugatieklasse van de S₆ waarin de elementen (144 stuks) orde 5 hebben. Dus f(m) is een 5-cykel, zeg (a,b,c,d,e). De centralisator van m, een 5-cykel, is niet meer dan de door m voortgebrachte 5-cyclische groep {1, m, m², m³, m⁴}. Dus als p een permutatie is met a p = 2, b p = 3, c p = 4, d p = 5 en e p = 6, dan is m vast onder het samengestelde uitwendige automorfisme w_p na f. Dit automorfisme dopen we vervolgens weer om tot f, zodat daarna f(m) = m . Stel f² = w_h, dan ligt h in de centralisator van m, zeg h = mⁱ Kies q = m²ⁱ dan geldt met F = w_q na f, niet alleen F(m) = m maar ook dat F² de identiteit is. U raad het al, we noemen F weer f.

Fase 2. f is een zelfinvers uitwendig automorfisme met f(m) = m, waarin m = (2,3,4,5,6)
Stel s = (3,4,6,5). Dan geldt w_s(m) = (2,4,6,3,5) = m², dus ook w_f(s)(m) = (2,4,6,3,5) = m² en dus f(s) = s* mⁱ voor zekere i. Maar dan geldt ook s = f(f(s)) = m²ⁱ*s. Dus mⁱ = 1 en f(s) = s. Hetzelfde geldt voor de vier 4-cykels w_q(s) met q in {m^k | k = 1,2,3,4}. Dus ('cyclisch verwisselen': 2-->3-->4-->5-->6-->2) voor de 4-cykels (4,5,2,6), (5,6,3,2), (6,2,4,3) en (2,3,5,4). [Als speciaal geval van opmerking 1, geldt algemeen dat f na w_g = w_g na f, zodra f(g) = g.]

Fase 3. Bovendien geldt f(x) = x voor x in de groep H voortgebracht door {m, (2,3,5,4), (3,4,6,5), (4,5,2,6), (5,6,3,2), (6,2,4,3)}
De centralisator van s = (3,4,6,5) heeft orde 8 (= 720/90) en is het direct product van de door (1,2) respectievelijk s voortgebrachte cyclische groepen. Daar (1,2) met s commuteert en f(s) = s, ligt f((1,2)) in de centralisator van s en is dus, als drieling, noodzakelijk gelijk aan (1,2)*s² = (1,2)(3,6)(4,5), zoals boven aangekondigd. Cyclisch verwisselen geeft dan vervolgens f((1,3)) = (1,3)(2,4)(5,6), f((1,4)) = (1,4)(3,5)(2,6), f((1,5)) = (1,5)(4,6)(2,3) en f((1,6)) = (1,6)(2,5)(3,4). Verder geldt (1,2) = f(f(1,2)) = (1,2)(3,6)(4,5)f((3,6)(4,5)), dus f((3,6)(4,5)) = (3,6)(4,5). Maar dat wisten we al, namelijk (3,6)(4,5) = s².

Fase 4. Verdere speciale gevallen
We berekenen nu het beeld van een 3-cykel: f(1,2,3) = f((1,2)(1,3)) = f(1,2)f(1,3)=(1,4,6)(2,3,5) en conjugatie met de machten van m ofwel cyclisch verwisselen levert weer f(1,2,4)=(1,5,2)(3,4,6) etcetera. Merk op dat er inderdaad net zoveel 3-cykels zijn als producten van twee disjuncte 3-cykels, namelijk 40. Vervolgens bepalen we het beeld van een 6-cykel: f((1,2,3,4,5,6)) = f(m*r) = f(m)*f(r)= m*r*(3,6)(4,5) = (1,2,6)(3,5) en er zijn inderdaad evenveel 6-cykels als producten van een transpositie met een daarmee disjuncte 3-cykel, namelijk 120. De orde van de elementen in beide klassen is 6 en ze zijn allemaal oneven. De bij de partitie 6=4+2 horende conjugatieklasse bestaat uit alle oneven permutaties van de orde 4 en wordt dus door f op zichzelf afgebeeld. Een voorbeeld: f((1,2)(3,4,6,5)) = f(r*s) = f(r)*f(s) = r*s²*s = r*s^-1 = (1,2)(3,5,6,4) en cyclisch verwisselen, ofwel herhaaldelijk w_m [die immers met f commuteert] toepassen, geeft weer de inmiddels vertrouwde vier verwante gevallen. Merk op dat f(r*s) = (r*s)^-1. Algemeen, als x orde 4 heeft en f(x) = x^-1, dan geldt dat x² vast is onder f (en orde 2 heeft, bijvoorbeeld s²). Algemener, als c(x) = f(x)*x^-1, dan f(c(x)) = c(x)^-1 en f beeldt elke macht van c(x) op zijn inverse af. Toepassing: Neem x = (1,2,3), dan f(x) = (1,4,6)(2,3,5) en c(x) = (1,4,6,3,5), c(x)² = (1,6,5,4,3), c(x)³ = (1,3,4,5,6) en c(x)⁴ = (1,5,3,6,4). Met cyclische verwisseling vinden we direct tien van dergelijke inverse paren van 5-cykels die onder f in hun inverse overgaan. Ook x^-1*f(x) gaat natuurlijk onder f in zijn inverse over, maar dat type hadden we al, x^-1*f(x) = c(x^-1)^-1. Berekening leert dat c(1,3,2)*c(1,3,4) = 1, en cyclische verwisseling geeft in totaal 5 van dergelijke relaties. Hierboven zagen we dat f(r*s) = (r*s)^-1 en dus ook f((r*s)^-1) = r*s. Is er nu omgekeerd een y zodat c(y) = (r*s)^-1? Het antwoord is ja. Elke y in {(2,4,3),(2,5,6),(2,3,5),(2,6,4)} blijkt na berekening te voldoen.

Als h een inwendig automorfisme is dan is h(x)*x^-1 een commutator. Onze c(x) is daarvan een generalisatie [met het slot van punt 3 van de inleiding te zien als een commutator van f en x, in de daar genoemde uitbreiding van G].

Fase 5. Een bewijs dat H = Inv(f) := {x in G | f(x)= x}
Omdat geen enkel element van de orde 3 vast is onder f, kan de orde van Inv(f) geen drievoud zijn, hij is dus slechts een deler van 720/9=80. Anderzijds is H de normalisator in G van de door m voortgebrachte cyclische ondergroep M. Het bewijs hiervan vergt een aantal stappen: Daar de centralisator van m in G maar 5 elementen bevat, het is M zelf, zijn er hoogstens 5 elementen t in G met t^-1*m*t = mⁱ, voor een of andere vaste waarde van i. Maar die zitten allemaal al in H. Klaar. Hieruit volgt direct dat H geen andere 5-cykels dan die uit M bevat. Stel namelijk wel, zeg k, dan zou Inv(f) minstens 5*20 = 100 elementen hebben [te veel dus] doordat de cosets kⁱ*H noodzakelijk verschillend zijn. Immers, de aanname k^j in H leidt tot k^j in M, want M is normaal in H en dus de enige Sylow 5-subgroep van H. Klaar (alweer). Stel tenslotte dat g nog een onbekend element van Inv(f) zou zijn dan is m w_g zo'n 5-cykel "k" in Inv(f), dus in M. Maar alle elementen g met die eigenschap zaten al in H.

Herhaling

. Inerte opdrachten aan GAP worden altijd afgesloten met een ";;" (tweemaal punt-komma). Alle overige met een enkele punt-komma";" (gevolgd door "enter" natuurlijk). Het programma wordt met de opdracht quit; verlaten. We gebruiken een rood lettertype voor de invoer, een blauw voor de uitvoer, en een paars voor foutmeldingen. We gaan over op Engels.

Checking by means of GAP

We start with the classical definition of S₆ and let GAP determine its 11 conjugacy classes after an increase of the line length limit from its default value 80 to 160 in order to make long expressions fit into one or two lines.
gap> s6:=Group( (1,2), (2,3,4,5,6) );
Group([ (1,2), (2,3,4,5,6) ])
gap> SizeScreen([160, ]);;
gap> cc := ConjugacyClasses( s6 );
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2)(3,4)(5,6)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3)(4,5)^G, (1, 2,3)(4,5,6)^G, (1,2,3,4)^G, (1,2,3,4)(5,6)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,4,5,6)^G ]
We select the class of 15 transpositions and the class of 15 products of 3 disjoint transpositions to be explicitly represented
gap> c2 := AsList(cc[2]); c222 := AsList(cc[4]);
[ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), ( 3,6), (4,5), (4,6), (5,6) ]
[ (1,2)(3,4)(5,6), (1,2)(3,5)(4,6), (1,2)(3,6)(4,5), (1,3)(2,4)(5,6), (1,3)(2,5) (4,6), (1,3)(2,6)(4,5), (1,4)(2,3)(5,6), (1,4)(2,5)(3,6), (1,4)(2,6)(3,5), (1,5)(2,3)(4,6), (1,5)(2,4)(3,6), (1,5)(2,6)(3,4), (1,6)(2,3)(4,5), (1,6)(2,4) (3,5), (1,6)(2,5)(3,4) ]
and for later use we form their union, which is a set, that is, a strictly sorted dense list [without duplicates].
gap> U:=Union(c2,c222);; Length(U);
30
We now define our homomorphism f by its generator images f(r) = r*s² and f(m) = m.
gap> f:= GroupHomomorphismByImages(s6, s6, GeneratorsOfGroup(s6), [(1,2)(3,6)(4,5), (2,3,4,5,6)]);
[ (1,2), (2,3,4,5,6) ] -> [ (1,2)(3,6)(4,5), (2,3,4,5,6) ]
We didn't get a 'fail' as response. So in the mean time (less than one second) GAP has verified the existence of a homomorphism f with these properties! We next check that f*f is the identity,
gap> f*f;
[ (1,2), (2,3,4,5,6) ] -> [ (1,2), (2,3,4,5,6) ]
and verify a few images. GAP allows text to be pasted from your favorite text editor into its own window and conversely [so you may use the text of the present page for instance, or its source code, but watch out for arrows!]. Like Maple, it presents its permutations as disjoint cycles in strict lexicographical order.
gap> Image(f, (1,3) ); Image(f, (1,4) );
(1,3)(2,4)(5,6)
(1,4)(2,6)(3,5)
gap> Image(f, (1,5) ); Image(f, (1,6) );
(1,5)(2,3)(4,6)
(1,6)(2,5)(3,4);
gap> Image(f, (3,4,6,5) ); Image(f, (1,2,3) );
(3,4,6,5)
(1,4,6)(2,3,5)
gap> M:=Group((2,3,4,5,6)); Centralizer(s6,M);
Group([ (2,3,4,5,6) ])
Group([ (2,3,4,5,6) ])
gap> H:=Normalizer(s6,M); SylowSubgroup(H,5);
Group([ (2,3,4,5,6), (3,6)(4,5), (3,5,6,4) ])
Group([ (2,3,4,5,6) ])
H could do with one generator less. We determine the conjugacy classes from H to demonstrate the conjugate action of M on H.
gap> ccl:=ConjugacyClasses(H); Length( ccl);
[ ()^G, (3,4,6,5)^G, (3,5,6,4)^G, (3,6)(4,5)^G, (2,3,4,5,6)^G ]
5
gap> twenty:=AsList(H); five:=Action(M, twenty);
[ (), (3,4,6,5), (3,5,6,4), (3,6)(4,5), (2,3)(4,6), (2,3,4,5,6), (2,3,5,4), (2,3,6,5), (2,4,5,3), (2,4)(5,6), (2,4,6,3,5), (2,4,3,6), (2,5,6,3), (2,5,4,6), (2,5)(3,4), (2,5,3,6,4), (2,6,5,4,3), (2,6,4,5), (2,6,3,4), (2,6)(3,5) ]
Group([ (2,18,13,12,7)(3,14,8,19,9)(4,10,20,5,15) ])
Now GAP will check that H is the subgroup of all f-invariant elements of S₆.
gap> ls6:=AsList(s6);; H2:= Filtered(ls6, x-> Image(f,x)=x); H2=twenty;
[ (), (3,4,6,5), (3,5,6,4), (3,6)(4,5), (2,3)(4,6), (2,3,4,5,6), (2,3,5,4), (2,3 ,6,5), (2,4,5,3), (2,4)(5,6), (2,4,6,3,5), (2,4,3,6), (2,5,6,3), (2,5,4,6), (2,5)(3,4), (2,5,3,6,4), (2,6,5,4,3), (2,6,4,5), (2,6,3,4), (2,6)(3,5) ]
true
Finally, Aut(S₆), the full automorphism group of S₆:
gap> aut:=AutomorphismGroup(s6);; Size(aut);
1440
Aut(S₆)can be nicely represented as a permutationgroup of degree 2*15 = 30, with 3 generators, of order 2, 5 and 10, respectively. Do you see how?
gap> NiceMonomorphism(aut);; niceaut := NiceObject(aut);
Group([ (7,15)(8,19)(9,23)(10,27)(16,20)(17,24)(18,28)(21,25)(22,29)(26,30), (1, 10,7,4,2)(3,9,6,8,5)(11,15,19,23,27)(12,18,20,26,28)(13,17,21,25,29)(14,16,22, 24,30), (1,13,6,18,27,20,3,25,10,30)(2,28,7,24,23,26,4,12,11,14)(5,21,15,29, 19,17,8,22,9,16) ])
Let's try the action by Aut(S₆) on U, viewed as an extenxion of the action by conjugation of S₆ on U.
gap> ac:=Action(aut,U);; achom:=ActionHomomorphism(aut,ac);;
nice2:=Image(achom); niceaut=nice2;
Group([ (7,15)(8,19)(9,23)(10,27)(16,20)(17,24)(18,28)(21,25)(22,29)(26,30), (1, 10,7,4,2)(3,9,6,8,5)(11,15,19,23,27)(12,18,20,26,28)(13,17,21,25,29)(14,16,22, 24,30), (1,13,6,18,27,20,3,25,10,30)(2,28,7,24,23,26,4,12,11,14)(5,21,15,29, 19,17,8,22,9,16) ])
true
Right, but you might try to find a representation of degree 30 with only two generators [of order 2 and 10, respectively].