Toelichting
Zij ||.|| de bekende 2-adische norm (of valuatie) op Q. Voor een breuk a/b ongelijk aan nul is de norm ||a/b|| gelijk aan de maximale macht van 2 die in de noemer b opgaat gedeeld door de maximale macht van 2 die in de teller a opgaat. Door d(x,y):=||x - y|| wordt dan een (niet-archimedische) metriek op Q gegeven. We kunnen de opgave nu als volgt formuleren:
Toon aan dat
lim inf ||rn|| --> 0, voor n --> oneindig.
Nu is heeft ||rn|| een kleine waarde, als 3n ongeveer gelijk is aan -5 in deze metriek, dat wil zeggen, als n ongeveer log(-5)/log(3) is. Iets anders gezegd, als 3(n+1) ongeveer -15 is, ofwel als n ongeveer gelijk is aan -1 + log(-15)/log(3) en deze laatste uitdrukking kunnen we beter schrijven als
-1 + 2 log(1-24)/log(1+23),
om in de 2-adische metriek een snelle convergentie af te dwingen.
Nu geldt dat, voor even n, de norm ||3n + 5|| constant is en wel gelijk aan 2-1 [voor even n geldt namelijk modulo 4 dat 3n + 5 = (-1)n + 5 = 2]. Voor oneven n geldt 3(n+1) = (-3)(n+1). Hiermee is de 2-adische ontwikkeling van
-1 + log(1-24)/log((1+2)/(1-2))
ook goed bruikbaar voor een berekening van wat de rij a zal blijken te zijn. We verwijzen naar het Maple-werkblad.
