\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=4.10.0.2347}
%TCIDATA{Created=Monday, April 14, 2003 13:53:13}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, April 17, 2003 13:29:02}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{Inleiding}
Vorige week zijn er berekeningen gevoerd over een beleggingsproduct dat
ontstaan was naar aanleiding van soortgelijke rekening in Groot-Brittanni%
\"{e} dat ook in Nederland een heel succes blijkt te hebben. Vandaar dit
nieuw probleem.
Er is bij de bank behoefte ontstaan aan een nieuw beleggingsproduct dat
volgend jaar op de Nederlandse markt zal worden gebracht. Dit wordt opnieuw
een spaarrekening, maar deze keer zal het om de uitslagen gaan van de
Nederlandse voetbalcompetitie (eredivisie). Om het zo spannend mogelijk te
maken zal de rente elke week (dus na afloop van de wekelijkse wedstrijd)
worden verandert.
Er wordt nu ook over het systeem nagedacht dat zal worden gebruikt om de
rente aan te passen na het gespeelde wedstrijd. Hierbij krijgt elke
voetbalteam een aparte rekening.
Als eerste wordt het op te lossen probleem van dit verslag in woorden
gepresenteerd in Probleemstelling in woorden. Daarna wordt dit gegeven in de
formulevorm (Probleemstelling in formulevorm), waarbij de aannames (en
daarbij behorende grootheden) uitgebreid aan de orde komen. In de Uitwerking
vindt u de resultaten van het opgeloste probleem (zoals schattingen van
gemiddelde, maximale en minimale rendement, hun kansverdelingen en uiteraard
bespreking van hun betrouwbaarheid). Dit allemaal wordt samengevat en onder
de titel Conclusie gebracht. Als laatst wordt het hele zaakje nog eens ge%
\"{e}valueerd.
\bigskip
\section{Probleemstelling in woorden}
In dit gedeelte komt de probleemstelling aan de orde, gevolgd door korte
beschrijving van de gegevens.
Er moet ontwerp komen van beleggingsproduct, waarbij er elke week het
rentepercentage op de rekening wordt verandert aan de hand van uitslagen van
Nederlandse eredivisie, afhangend van minstens \'{e}\'{e}n uitslag van het
gespeelde wedstrijd in die week.
Gegeven zijn de uitslagen van de eredivisie in het seizoen `01/'02 (zie
tabel hieronder). De voorwaarde dat de percentages vergelijkbaar moeten zijn
met de oorspronkelijke Football Plus Belegging hebben wij letterlijk
genomen: de maximale, minimale en gemiddelde rentepercentages bij de
oorspronkelijke rekening worden in dit verslag gebruikt en worden dus ook
als `gegeven' beschouwd (zie Probleemstelling in formulevorm voor verdere
uitleg).
Er wordt ook gebruik gemaakt van de in de onderstaande tabel ondergebrachte
uitslagen van eredivisie '01/'02:
\begin{tabular}{ll|lll|}
plaats & club & \multicolumn{3}{|c|}{aantal wedstrijden} \\
& & winst & gelijk spel & verlies \\
1 & Ajax & 22 & 7 & 5 \\
2 & PSV & 20 & 8 & 6 \\
3 & Feyenoord & 19 & 7 & 8 \\
4 & SC Heerenveen & 17 & 9 & 8 \\
5 & Vitesse & 16 & 12 & 6 \\
6 & NAC & 15 & 9 & 10 \\
7 & FC Utrecht & 14 & 9 & 11 \\
8 & RKC Waalwijk & 14 & 6 & 14 \\
9 & NEC & 13 & 6 & 15 \\
10 & AZ & 12 & 7 & 15 \\
11 & FC Twente & 10 & 12 & 12 \\
12 & Roda JC & 11 & 8 & 15 \\
13 & De Graafschap & 10 & 7 & 17 \\
14 & FC Groningen & 10 & 7 & 17 \\
15 & FC Den Bosch & 8 & 9 & 17 \\
16 & Sparta & 4 & 12 & 18 \\
17 & Fortuna Sittard & 3 & 8 & 23%
\end{tabular}
\bigskip
\section{Probleemstelling in formulevorm}
In dit gedeelte worden eerst de aannames die ten grondslag liggen aan dit
model uitgebreid besproken, daarna worden de grootheden gedefinieerd waarmee
vervolgens gewerkt wordt om formules te vinden voor het oplossen van het
probleem. Overigens wordt hier ook de manier gegeven voor het berekenen van
de kans op een bepaalde rentepercentage per jaar.
Elke club speelt \'{e}\'{e}n keer per week. Er zijn 17 clubs die elk twee
maal spelen (uit en thuis) en dus wordt er 34 weken gespeeld.
Er is dus een vaste inschrijfdatum -- datum waarop het eerste wedstrijd van
het seizoen wordt gespeeld.
Het geld staat precies een jaar vast -- dus de overige 18 weken van het jaar
dat er niks aan de renre verandert, staat het bedrag vast tegen de laatst
berekende rente.
Rentepercentage aan het begin van de periode is 0\%, maar het wordt ELKE
week verandert, want bij winst \'{e}n gelijk spel \'{e}n verslies wordt de
rente verhoogd!
Zoals al gezegd in Probleemstelling in woorden wordt hier als houvast bij de
berekening van de rentepercentages de resultaten uit het vorig verslag
gebruikt (afgerond op \'{e}\'{e}n decimaal, zie voor nadere uitleg verslag
1). De waarde van de maximale rentepercentage wordt nu 5,4\%, minimale rente
-- 4,0\%. Met gemiddelde rentepercentage wordt het percentage bedoeld als de
club alle wedstrijden gelijk speelt.
Dus
\[
(1,04)^{\frac{65}{365}}\times (1,043)^{\frac{155}{365}}\times (1,046)^{\frac{%
70}{365}}(1,049)^{\frac{75}{365}}=1,044
\]
Oftewel rentepercentage van 4,4\%.
Overigens moeten de rentepercentages natuurlijk eerlijk verdeeld zijn. Met
andere woorden: club (zoals Ajax) dat heel goed is moet bij winst een
kleinere percentage toegekend krijgen dan een slechte team (zoals Sparta).
Er moet dus gelden:
(1)\qquad \qquad de kans op een bepaalde uitslag (bv. winst)
\qquad \qquad\ \ \ \ \ (=\TEXTsymbol{>} aantal winsten gedeeld door het
totale aantal gespeelde wedstrijden: 34 )
\qquad \qquad\ \ \ \ \ vermenigvuldigd met de waarde van verhoging van de
rentepercentage bij team 1
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gelijk is aan die van team 2!
hierbij is de kans op een bepaalde uitslag, bv. winst, gelijk aan totale
aantal winsten van team 1 gedeeld door het totale aantal wedstrijden (34).
Hetzelfde voor team I2 en de rest van de teams. Nou kan men al die
rentepercentages berekenen als er \'{e}\'{e}n team als maatstaaf met een van
tevoren vastgestelde percentage wordt genomen. Bij winst is dat de beste
club -- Ajax met 5,4\%, bij verlies -- Fortuna Sittard met 4,0\%, bij gelijk
spel -- Vitesse met 4,4\%.
Voor de verdere duidelijkheid zullen we nu eerst de te gebruiken grootheden
intoduceren:
\begin{tabular}{l|l}
symbool & uitleg grootheid \\ \hline
$w_{a}$ & aantal winsten van Ajax \\
$w_{t}$ & aantal winsten bepaalde team \\
$g_{v}$ & aantal keer gelijk spel van Vitesse \\
$g_{t}$ & aantal keer gelijk spel van een bepaalde team \\
$v_{fs}$ & aantal verlies van Fortuna Sittard \\
$v_{t}$ & aantal verlies van een bepaalde team \\
$p_{w,g,v}$ & van tevoren toegekende \%, resp. bij winst, gelijk spel of
verlies \\
$W$ & te berekenen percentage van een bepaalde team bij winst \\
$G$ & te berekenen percentage van een bepaalde team bij gelijk spel \\
$V$ & te berekenen percentage van een bepaalde team bij verlies%
\end{tabular}
Met alle bovenstaande gegevens en aannames krijg je (na de veralgemenesering
van formule (1)) de volgende drie formules:
(2)\qquad - voor het berekenen van de rentepercentage bij winst
\[
\frac{w_{a}}{34}\times p_{w}=\frac{w_{t}}{34}\times W
\]
(3) \ \ \ \ \ \ - voor het berekenen van de rentepercentage bij gelijk spel
\[
\frac{g_{v}}{34}\times p_{g}=\frac{g_{t}}{34}\times G
\]
(4) \ \ \ \ \ \ - voor het berekenen van de rentepercentage bij verlies
\[
\frac{v_{fs}}{34}\times p_{v}=\frac{v_{t}}{34}\times V
\]
De onbekenden in (2), (3) en (4) zijn $W$, $G$ en $V$. De bovenstaande
formules zijn te herschrijven als uitdrukkingen van deze drie onbekenden,
als volgt:
(5)\qquad
\[
W=\frac{w_{a}}{34}\times p_{w}\div \frac{w_{t}}{34}=\frac{(w_{a}\times
p_{w})\times 34}{34\times w_{t}}=\frac{w_{a}}{w_{t}}\times p_{w}
\]
op soortgelijke wijze krijgen we:
(6)%
\[
G=\frac{g_{v}}{g_{t}}\times p_{g}
\]
en (7)%
\[
V=\frac{v_{fs}}{v_{t}}\times p_{v}
\]
Voor het berekenen van de kansen op een bepaalde percentage wordt alweer
gebruikgemaakt van de kans op bepaalde uitslag, bv. winst.
Omdat elke team bij elk wedstrijd hetzelfde kans heeft op een bepaalde
uitslag, is de totale kans gewoonweg de 34-e macht van die eerste (oftwel:
tot de macht van het totale anatal gespeelde wedstrijden).
Voorbeeld voor Ajax, waarbij er vanuit gegaan wordt dat Ajax het hele jaar
door wint. Het volgende geeft dus aan hoe groot de kans is op het winnen van
alle 34 wedtsrijden voor Ajax:
\[
kans=(\frac{w_{a}}{34})^{34}
\]
Een algemenere formule, waarbij uitslag staat voor winst of gelijk spel of
verlies:
(8)%
\[
kans=(\frac{uitslag}{34})^{34}
\]
\bigskip
\section{Uitwerking}
Het enige wat hier gebeurt is het gebruiken van de bovengevonden formules om
de meest belangrijke dingen uit te rekenen en een indruk te geven van met
wat voor gegevens de bank te maken krijgt.
\bigskip
Een voorbeeld van de berekening van zo'n rentepercentage bij winst, als
tweede team is PSV genomen:
$W=\frac{22}{20}\times 5,4\%=5,94\%$
\bigskip Op deze wijze wordt de rest van de berekeningen uitgevoerd.
In het volgende tabel staan van de gemiddelde, maximale en minimale
rendementen en daar bijbehorende kansverdelingen van elke team. Hier wordt
gebruik gemaakt van formules (5), (6), (7) en (8).
\begin{tabular}{|l||l|l|}
\hline
& \multicolumn{2}{||l|}{Winst} \\ \hline
Teams: & rend. max.\% & kans hierop \\ \hline
Ajax & 5,4 & 3,7$\times $10$^{\text{-7}}$ \\ \hline
PSV & 5,94 & 1,5$\times $10$^{\text{-8}}$ \\ \hline
Feyenoord & 6,25 & 2,6$\times $10$^{\text{-9}}$ \\ \hline
SC Heerenveen & 6,99 & 5,8$\times $10$^{\text{-11}}$ \\ \hline
Vitesse & 7,43 & 7,4$\times $10$^{\text{-12}}$ \\ \hline
NAC & 7,92 & 8,3$\times $10$^{\text{-13}}$ \\ \hline
FC Utrecht & 8,49 & 7,9$\times $10$^{\text{-14}}$ \\ \hline
RKC Waalwijk & 8,49 & 7,9$\times $10$^{\text{-14}}$ \\ \hline
NEC & 9,14 & 6,4$\times $10$^{\text{-15}}$ \\ \hline
AZ & 9,9 & 4,2$\times $10$^{\text{-16}}$ \\ \hline
FC Twente & 11,88 & 8,5$\times $10$^{\text{-19}}$ \\ \hline
Roda JC & 10,8 & 2,2$\times $10$^{\text{-17}}$ \\ \hline
De Graafschap & 11,88 & 8,5$\times $10$^{\text{-19}}$ \\ \hline
FC Groningen & 11,88 & 8,5$\times $10$^{\text{-19}}$ \\ \hline
FC Den Bosch & 14,85 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$ \\ \hline
Sparta & 29,7 & 2,5$\times $10$^{\text{-32}}$ \\ \hline
Fortuna Sittard & 39,6 & 1,4$\times $10$^{\text{-36}}$ \\ \hline
\end{tabular}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\begin{tabular}{||l|l||l|l|}
\hline
\multicolumn{2}{||l||}{Gelijk spel} & \multicolumn{2}{||l|}{Verlies} \\
\hline
rend. gem. & de kans erop & rend. min. & kans \\ \hline
7,54 & 4,6$\times $10$^{\text{-24}}$ & 18,4 & 5,0$\times $10$^{\text{-29}}$
\\ \hline
6,6 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$ & 15,33 & 2,4$\times $10$^{\text{-26}}$
\\ \hline
7,54 & 4,6$\times $10$^{\text{-24}}$ & 11,5 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$
\\ \hline
5,87 & 2,4$\times $10$^{\text{-20}}$ & 11,5 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$
\\ \hline
4,4 & 4,2$\times $10$^{\text{-16}}$ & 15,33 & 2,4$\times $10$^{\text{-26}}$
\\ \hline
5,87 & 2,4$\times $10$^{\text{-20}}$ & 9,2 & 8,5$\times $10$^{\text{-19}}$
\\ \hline
5,87 & 2,4$\times $10$^{\text{-20}}$ & 8,36 & 2,2$\times $10$^{\text{-17}}$
\\ \hline
8,8 & 2,4$\times $10$^{\text{-26}}$ & 6,57 & 7,9$\times $10$^{\text{-14}}$
\\ \hline
8,8 & 2,4$\times $10$^{\text{-26}}$ & 6,13 & 8,3$\times $10$^{\text{-13}}$
\\ \hline
7,54 & 4,6$\times $10$^{\text{-24}}$ & 6,13 & 8,3$\times $10$^{\text{-13}}$
\\ \hline
4,4 & 4,2$\times $10$^{\text{-16}}$ & 7,66 & 4,2$\times $10$^{\text{-16}}$
\\ \hline
6,6 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$ & 6,13 & 8,3$\times $10$^{\text{-13}}$
\\ \hline
7,54 & 4,6$\times $10$^{\text{-24}}$ & 5,41 & 5,8$\times $10$^{\text{-11}}$
\\ \hline
7,54 & 4,6$\times $10$^{\text{-24}}$ & 5,41 & 5,8$\times $10$^{\text{-11}}$
\\ \hline
5,87 & 2,4$\times $10$^{\text{-20}}$ & 5,41 & 5,8$\times $10$^{\text{-11}}$
\\ \hline
4,4 & 4,2$\times $10$^{\text{-16}}$ & 5,11 & 4,1$\times $10$^{\text{-10}}$
\\ \hline
6,6 & 4,3$\times $10$^{\text{-22}}$ & 4,0 & 1,7$\times $10$^{\text{-6}}$ \\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
In het volgend tabel zijn de wekelijkse kanspercentages te zien. Deze zijn
berekend volgens 'rente-over-rente' principe. Oftewel: er wordt de 34
machtswortel genomen uit alle jaarlijkse percentages (\'{e}\'{e}n voor \'{e}%
\'{e}n) plus 1. In formulevorm:
\[
\sqrt[34]{(jaarlijkse}percentage+1)
\]
\begin{tabular}{|l||l||l||l|}
\hline
Teams: & winst (in \% per week) & gelijk spel & verlies \\ \hline
Ajax & 0,155 & 0,214 & 0,498 \\ \hline
PSV & 0,170 & 0,188 & 0,420 \\ \hline
Feyenoord & 0,178 & 0,214 & 0,321 \\ \hline
SC Heerenveen & 0,199 & 0,168 & 0,321 \\ \hline
Vitesse & 0,211 & 0,127 & 0,420 \\ \hline
NAC & 0,224 & 0,168 & 0,259 \\ \hline
FC Utrecht & 0,240 & 0,168 & 0,236 \\ \hline
RKC Waalwijk & 0,240 & 0,248 & 0,187 \\ \hline
NEC & 0,258 & 0,248 & 0,175 \\ \hline
AZ & 0,278 & 0,214 & 0,175 \\ \hline
FC Twente & 0,331 & 0,127 & 0,217 \\ \hline
Roda JC & 0,302 & 0,188 & 0,175 \\ \hline
De Graafschap & 0,331 & 0,214 & 0,155 \\ \hline
FC Groningen & 0,331 & 0,214 & 0,155 \\ \hline
FC Den Bosch & 0,408 & 0,168 & 0,155 \\ \hline
Sparta & 0,768 & 0,127 & 0,147 \\ \hline
Fortuna Sittard & 0,986 & 0,188 & 0,115 \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip
\section{Conclusie}
Er zijn in de uitkomsttabellen\ bij Uitwerking heel erg uiteenlopende
resultaten getoond. Er komen bij een aantal teams wel hele hoge
rentepercentages uit. Wat er overigens aan de klanten niet wordt verteld is
dat de kans op die enorme percentages zeer en zeer klein is. Voordeel voor
de bank: met een waarde die zeer kleine waarschijnlijkheidsgraad heeft,
trekt je toch wel veel klanten mee (want wie wil er nou niet zijn
inlegbedrag in een jaar tijd bijna met de helft ervan verhogen!).
\section{Evaluatie}
In dit laatste deel van het verslag worden mogelijke onnauwkeurigheden of
fouten besproken. Er wordt hier in het algemeen commentaar op het gevonden
model en/of uitgerekende resultaten geleverd.
\bigskip
Het bovengevonden model is \'{e}\'{e}n van de vele mogelijke oplossingen van
dit probleem. Andere mogelijkheden zijn bijvoorbeeld: de waarde van de rente
begint op 4\% en dan krijg je bij verlies niks. Wij hebben voor deze methode
gekozen, omdat men hier hoogstwaarschijnlijk veel klanten mee trekt.
De schattingsfout is een belangrijk punt. Daarom volgt hier ook de
bespreking ervan:
\qquad alle verkregen weekpercentages worden op 3 decimalen afgerond
(0,001\%). Onnauwkeurigheid is dus maximaal 0,0005\%=0,000005 per week. Per
jaar is dat maximaal
\[
1,000005^{34}-1=0,00017=0,017\%
\]
In het voorgaand verslag is er nog aandacht besteed aan mogelijke wisseling
van wedstrijden. In dit model wordt er echter geen rekening mee gehouden,
omdat er gewoonweg geen specifieke gegevens van beschikbaar zijn. Je zou
kunnen vermoeden dat de gemoedsgesteldhied van de team in dat geval
verslechterd, waardoor het de volgende keer minder goed presteert, wat
minder winsten tot gevolg heeft. Maar dit model is ook maar een benadering
van de werkelijkheid. De gegevens nemen de waarde aan van de in het vorig
jaar geleverde uitslagen van de gespeelde wedstrijden. Model zou misschien
nauwkeuriger worden als het gebaseerd was op enerzijds uitslagen van het
jaar ervoor en anderzijds voorspellingen over de uitslagen van het komend
jaar.
Een ander beplangrijk punt is het volgende. De laatste tijd is er veel
onzekerheid rondom de duur van het bestaan van FC Twente. Het is dus
misschien goed om op de hoogte te blijven van de zaken van deze team. Als
deze namelijk in de nabije toekomst niet meer zal bestaan is het misschien
niet zo verstandig om daar nu een aparte rekening voor aan te maken!
Als laatst nog dit even: in onze politiek en economisch instabiele tijd
zouden we de bank aanraden om van tevoren zoveel mogelijk van ongewone
gebeurtenissen te voorzien van een goede oplossing. Voorbeeld van zo'n
gebeurtenis is het wegvallen van een wedstrijd. Onze oplossing: er toch een
bepaalde rentepercentage bij te rekenen, dat maakt het product wel zo
aantrekkelijk voor de klant!
\end{document}